Рубрики
...

Многофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ есть совокупность статистических методов, предназначенных для проверки гипотез о связи между определенными признаками и исследуемыми факторами, которые не имеют количественного описания, а также для установления степени влияния факторов и их взаимодействия. В специальной литературе его часто называют ANOVA (от англоязычного названия Analysis of Variations). Впервые этот метод был разработан Р. Фишером в 1925 г.

Виды и критерии дисперсионного анализа

Этот метод используется для исследования связи между качественными (номинальными) признаками и количественной (непрерывной) переменной. По сути, он осуществляет тестирование гипотезы о равенстве средних арифметических нескольких выборок. Таким образом, его можно рассматривать как параметрический критерий для сравнения центров сразу нескольких выборок. Если использовать этот метод для двух выборок, то результаты дисперсионного анализа будут идентичны результатам t-критерия Стьюдента. Однако, в отличие от других критериев, это исследование позволяет изучить проблему более детально.

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ в статистике базируется на законе: сумма квадратов отклонений объединенной выборки равна сумме квадратов внутригрупповых отклонений и сумме квадратов межгрупповых отклонений. Для исследования используется критерий Фишера для установления значимости различия межгрупповых дисперсий от внутригрупповых. Однако для этого необходимыми предпосылками являются нормальность распределения и гомоскедастичность (равенство дисперсий) выборок. Различают одномерный (однофакторный) дисперсионный анализ и многомерный (многофакторный). Первый рассматривает зависимость исследуемой величины от одного признака, второй - сразу от многих, а также позволяет выявить связь между ними.

Факторы

Факторами называют контролируемые обстоятельства, что влияют на конечный результат. Его уровнем или способом обработки называют значение, которое характеризует конкретное проявление этого условия. Эти цифры обычно подают в номинальной или порядковой шкале измерений. Часто выходные значения измеряют в количественных или порядковых шкалах. Тогда возникает проблема группировки выходных данных в ряде наблюдений, что соответствуют примерно одинаковым числовым значениям. Если количество групп взять чрезмерно большим, то количество наблюдений в них может оказаться недостаточным для получения надежных результатов. Если брать число чрезмерно малым, это может привести к потере существенных особенностей влияния на систему. Конкретный способ группировки данных зависит от объема и характера варьирования значений. Количество и размеры интервалов при однофакторном анализе чаще всего определяют по принципу равных промежутков или по принципу равных частот.

Задачи дисперсионного анализа

Итак, существуют случаи, когда нужно сравнить две или больше выборок. Именно тогда и целесообразно применение дисперсионного анализа. Название метода указывает на то, что выводы делают на основе исследования составляющих дисперсии. Суть изучения состоит в том, что общее изменение показателя разбивают на составляющие части, которые соответствуют действию каждого отдельно взятого фактора. Рассмотрим ряд задач, которые решает типичный дисперсионный анализ.

Пример 1

В цехе есть ряд станков - автоматов, которые изготавливают определенную деталь. Размер каждой детали - это случайная величина, которая зависит от настройки каждого станка и случайных отклонений, возникающих в процессе изготовления деталей. Нужно по данным измерений размеров деталей определить, одинаково ли настроены станки.

методы дисперсионного анализа

Пример 2

Во время изготовления электрического аппарата используют различные типы изоляционной бумаги: конденсаторную, электротехническую и др. Аппарат можно пропитать различными веществами: эпоксидной смолой, лаком, смолой МЛ-2 и др. Утечки можно устранять под вакуумом при повышенном давлении, при нагреве. Пропитывать можно методом погружения в лак, под непрерывной струей лака и т. п. Электрический аппарат в целом заливают определенным компаундом, вариантов которого есть несколько. Показателями качества являются электрическая прочность изоляции, температура перегрева обмотки в рабочем режиме и ряд других. Во время отработки технологического процесса изготовления аппаратов надо определить, как влияет каждый из перечисленных факторов на показатели аппарата.

Пример 3

Троллейбусное депо обслуживает несколько троллейбусных маршрутов. На них работают троллейбусы различных типов, и оплату за проезд собирают 125 контролеров. Руководство депо интересует вопрос: как сравнить экономические показатели работы каждого контролера (выручку) учитывая различные маршруты, различные типы троллейбусов? Как определить экономическую целесообразность выпуска троллейбусов определенного типа на тот или другой маршрут? Как установить обоснованные требования к величине выручки, которую приносит кондуктор, на каждом маршруте в различных типах троллейбусов?

Задача по выбору метода состоит в том, как получить максимум информации относительно влияния на конечный результат каждого фактора, определить числовые характеристики такого влияния, их надежность при минимальных затратах и за максимально короткое время. Решить такие задачи позволяют методы дисперсионного анализа.

Однофакторный анализ

Исследование своей целью ставит оценку величины влияния конкретного случая на анализируемый отзыв. Другой задачей однофакторного анализа может быть сравнение двух или нескольких обстоятельств друг с другом с целью определения разницы их влияния на отзыв. Если нулевую гипотезу отвергают, то следующим этапом будет количественное оценивание и построение доверительных интервалов для полученных характеристик. В случае, когда нулевая гипотеза не может быть отброшенной, обычно ее принимают и делают вывод о сущности влияния.

Однофакторный дисперсионный анализ может стать непараметрическим аналогом рангового метода Краскела-Уоллиса. Он разработан американскими математиком Уильямом Краскелом и экономистом Вильсоном Уоллисом в 1952 г. Этот критерий назначен для проверки нулевой гипотезы о равенстве эффектов влияния на исследуемые выборки с неизвестными, но равными средними величинами. При этом количество выборок должно быть больше двух.

дисперсионный анализ статистика

Критерий Джонкхиера (Джонкхиера-Терпстра) был предложен независимо друг от друга нидерландским математиком Т. Дж. Терпстром в 1952 г. и британским психологом Е. Р. Джонкхиером в 1954 г. Его применяют тогда, когда заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по росту влияния исследуемого фактора, который измеряют в порядковой шкале.

М - критерий Бартлетта, предложенный британским статистиком Маурисом Стивенсоном Бартлеттом в 1937 г., применяют для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нескольких нормальных генеральных совокупностей, с которых взяты исследуемые выборки, в общем случае имеющие различные объемы (число каждой выборки должно быть не меньше четырех).

G - критерий Кохрена, который открыл американец Вильям Геммел Кохрен в 1941 г. Его используют для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нормальных генеральных совокупностей по независимым выборкам равного объема.

Непараметрический критерий Левене, предложенный американским математиком Ховардом Левене в 1960 г., является альтернативой критерия Бартлетта в условиях, когда нет уверенности в том, что исследуемые выборки подчиняются нормальному распределению.

В 1974 г. американские статистики Мортон Б. Браун и Алан Б. Форсайт предложили тест (критерий Брауна-Форсайта), который несколько отличается от критерия Левене.

Двухфакторный анализ

Двухфакторный дисперсионный анализ применяют для связанных нормально распределенных выборок. На практике часто используют и сложные таблицы этого метода, в частности те, в которых каждая ячейка содержит набор данных (повторные измерения), соответствующих фиксированным значениям уровней. Если предположения, необходимые для применения двухфакторного дисперсионного анализа, не выполняются, то используют непараметрический ранговый критерий Фридмана (Фридмана, Кендалла и Смита), разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом в конце 1930 г. Этот критерий не зависит от типа распределения.

Предполагается только, что распределение величин является одинаковым и непрерывным, а сами они независимы одна от другой. При проверке нулевой гипотезы выходные данные подают в форме прямоугольной матрицы, в которой строки соответствуют уровням фактора В, а столбцы - уровням А. Каждая ячейка таблицы (блока) может быть результатом измерений параметров на одном объекте или на группе объектов при постоянных значениях уровней обоих факторов. В этом случае соответствующие данные подают как средние значения определенного параметра по всем измерениям или объектам исследуемой выборки. Для применения критерия выходных данных необходимо перейти от непосредственных результатов измерений к их рангу. Ранжирование осуществляют по каждой строке отдельно, то есть величины упорядочивают для каждого фиксированного значения.

дисперсионный анализ в статистике

Критерий Пейджа (L-критерий), предложенный американским статистиком Е. Б. Пейджем в 1963 г., предназначен для проверки нулевой гипотезы. Для больших выборок применяют аппроксимацию Пейджа. Они при условии реальности соответствующих нулевых гипотез подчиняются стандартному нормальному распределению. В случае, когда в строках исходной таблицы есть одинаковые значения, необходимо использовать средние ранги. При этом точность выводов будет тем хуже, чем больше будет количеств таких совпадений.

Q - критерий Кохрена, предложенный В. Кохреном в 1937 г. Его используют в случаях, когда группы однородных субъектов подвергаются воздействиям, количество которых превышает два и для которых возможны два варианта отзывов - условно-отрицательный (0) и условно-положительный (1). Нулевая гипотеза состоит из равенства эффектов влияния. Двухфакторный дисперсионный анализ дает возможность определить существование эффектов обработки, однако не дает возможности установить, для каких именно столбцов существует этот эффект. При решении данной проблемы применяют метод множественных уравнений Шеффе для связанных выборок.

Многофакторный анализ

Задача многофакторного дисперсионного анализа возникает тогда, когда нужно определить влияние двух или большего количества условий на определенную случайную величину. Исследование предусматривает наличие одной зависимой случайной величины, измеренной в шкале разницы или отношений, и нескольких независимых величин, каждая из которых выражена в шкале наименований или в ранговой. Дисперсионный анализ данных является достаточно развитым разделом математической статистики, который имеет массу вариантов. Концепция исследования общая как для однофакторного, так и для многофакторного. Сущность ее состоит в том, что общую дисперсию разбивают на составляющие, что соответствует определенной группировке данных. Каждой группировке данных соответствует своя модель. Здесь мы рассмотрим только основные положения, нужные для понимания и практического использования наиболее применяемых его вариантов.

однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ факторов требует достаточно внимательного отношения к сбору и подаче входных данных, а особенно к интерпретации результатов. В отличие от однофакторного, результаты которого можно условно разместить в определенной последовательности, результаты двухфакторного требуют более сложного представления. Еще сложнее ситуация возникает, когда есть три, четыре или больше обстоятельств. Из-за этого в модель достаточно редко включают больше трех (четырех) условий. Примером может быть возникновение резонанса при определенной величине емкости и индуктивности электрического круга; проявление химической реакции при определенной совокупности элементов, из которых построена система; возникновение аномальных эффектов в сложных системах при определенном совпадении обстоятельств. Наличие взаимодействия может в корне изменить модель системы и иногда привести к переосмыслению природы явлений, с которыми имеет дело экспериментатор.

Многофакторный дисперсионный анализ с повторными опытами

Данные измерений достаточно часто можно группировать не по двум, а по большему количеству факторов. Так, если рассматривать дисперсионный анализ срока службы покрышек колес троллейбуса с учетом обстоятельств (завод-производитель и маршрут, на котором эксплуатируются покрышки), то можно выделить как отдельное условие сезон, во время которого эксплуатируются покрышки (а именно: зимняя и летняя эксплуатация). В результате будем иметь задачу трехфакторного метода.

При наличии большего количества условий подход такой же, как и в двухфакторном анализе. Во всех случаях модель пытаются упростить. Явление взаимодействия двух факторов проявляется не так часто, а тройное взаимодействие бывает только в исключительных случаях. Включают то взаимодействие, для которого есть предыдущая информация и серьезные основания, чтобы ее учесть в модели. Процесс выделения отдельных факторов и их учета относительно простой. Поэтому часто возникает желание выделить больше обстоятельств. Этим не следует увлекаться. Чем больше условий, тем менее надежной становится модель и тем больше вероятность ошибки. Сама модель, в которую входит большое количество независимых переменных, становится достаточно сложной для интерпретации и неудобной для практического использования.

Общая идея дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ в статистике - это метод получения результатов наблюдений, зависимых от различных одновременно действующих обстоятельств, и оценки их влияния. Управляемую переменную величину, которая соответствует способу воздействия на объект исследования и в некоторый период времени приобретает определенное значение, называют фактором. Они могут быть качественными и количественными. Уровни количественных условий приобретают определенное значение на числовой шкале. Примерами являются температура, давление прессования, количество вещества. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, наполнители. Их уровням соответствует шкала наименований.

применение дисперсионного анализа

К качественным можно отнести также вид упаковочного материала, условия хранения лекарственной формы. Сюда же рационально отнести степень измельчения сырья, фракционный состав гранул, имеющих количественное значение, однако плохо поддающихся регулированию, если использовать количественную шкалу. Число качественных факторов зависит от вида лекарственной формы, а также физических и технологических свойств лекарственных веществ. Например, из кристаллических веществ можно получать таблетки прямым прессованием. В этом случае достаточно провести выбор скользящих и смазывающих веществ.

Примеры качественных факторов для различных видов лекарственных форм

  • Настойки. Состав экстрагента, тип экстрактора, способ подготовки сырья, способ получения, способ фильтрации.
  • Экстракты (жидкие, густые, сухие). Состав экстрагента, способ экстракции, тип установки, способ удаления экстрагента и балластных веществ.
  • Таблетки. Состав вспомогательных веществ, наполнители, разрыхлители, связующие, смазывающие и скользящие вещества. Способ получения таблеток, вид технологического оборудования. Вид оболочки и ее компонентов, пленкообразователи, пигменты, красители, пластификаторы, растворители.
  • Инъекционные растворы. Вид растворителя, способ фильтрации, природа стабилизаторов и консервантов, условия стерилизации, способ заполнения ампул.
  • Суппозитории. Состав суппозиторной основы, способ получения суппозиториев, наполнителей, упаковки.
  • Мази. Состав основы, структурные компоненты, способ приготовления мази, вид оборудования, упаковка.
  • Капсулы. Вид оболочечного материала, способ получения капсул, тип пластификатора, консерванта, красителя.
  • Линименты. Способ получения, состав, тип оборудования, тип эмульгатора.
  • Суспензии. Вид растворителя, вид стабилизатора, метод диспергирования.

Примеры качественных факторов и их уровней, изучаемых в процессе изготовления таблеток

  • Разрыхлитель. Крахмал картофельный, глина белая, смесь натрия гидрокарбоната с кислотой лимонной, магния карбонат основной.
  • Связывающий раствор. Вода, крахмальный клейстер, сахарный сироп, раствор метилцеллюлозы, раствор оксипропилметилцеллюлозы, раствор поливинилпирролидона, раствор поливинилового спирта.
  • Скользящая вещество. Аэросил, крахмал, тальк.
  • Наполнитель. Сахар, глюкоза, лактоза, натрия хлорид, фосфат кальция.
  • Смазывающее вещество. Стеариновая кислота, полиэтиленгликоль, парафин.

Модели дисперсионного анализа в исследовании уровня конкурентоспособности государства

Одним из важнейших критериев оценки состояния государства, по которым проводится оценка уровня его благосостояния и социально-экономического развития, является конкурентоспособность, то есть совокупность свойств, присущих национальной экономике, которые определяют способность государства конкурировать с другими странами. Определив место и роль государства на мировом рынке, можно установить четкую стратегию обеспечения экономической безопасности в международных масштабах, ведь она является залогом положительных взаимоотношений России со всеми игроками мирового рынка: инвесторами, кредиторами, правительствами государств.

Для сравнения уровня конкурентоспособности государств проводится ранжирование стран с помощью комплексных индексов, которые включают различные взвешенные показатели. В основу этих индексов заложены ключевые факторы, влияющие на экономическое, политическое и т. п. положение. Комплекс моделей исследования конкурентоспособности государства предусматривает использование методов многомерного статистического анализа (в частности, это дисперсионный анализ (статистика), эконометрическое моделирование, принятие решений) и включает следующие основные этапы:

  1. Формирование системы показателей-индикаторов.
  2. Оценку и прогнозирование индикаторов конкурентоспособности государства.
  3. Сравнение показателей-индикаторов конкурентоспособности государств.

А теперь рассмотрим содержание моделей каждого из этапов данного комплекса.

На первом этапе с помощью методов экспертного изучения формируется обоснованный комплекс экономических показателей-индикаторов оценки конкурентоспособности государства с учетом специфики ее развития на основе международных рейтингов и данных статистических отделов, отражающих состояние системы в целом и ее процессов. Выбор этих показателей обоснован необходимостью отобрать те из них, которые наиболее полно с точки зрения практики позволяют определить уровень государства, его инвестиционную привлекательность и возможности относительной локализации существующих потенциальных и реально действующих угроз.

дисперсионный анализ данных

Основные показатели-индикаторы международных рейтинг-систем - это индексы:

  1. Глобальной конкурентоспособности (ИГК).
  2. Экономической свободы (ИЭС).
  3. Развития человеческого потенциала (ИРЧП).
  4. Восприятия коррупции (ИВК).
  5. Внутренних и внешних угроз (ИВЗЗ).
  6. Потенциала международного влияния (ИПМВ).

Второй этап предусматривает оценку и прогнозирование индикаторов конкурентоспособности государства по международным рейтингам для исследуемых 139 государств мира.

Третий этап предусматривает сравнение условий конкурентоспособности государств при помощи методов корреляционно-регрессионного анализа.

Используя результаты исследования можно определить характер протекания процессов в целом и по отдельным составляющим конкурентоспособности государства; проверить гипотезу о влиянии факторов и их взаимосвязи при соответствующем уровне значимости.

Реализация предложенного комплекса моделей позволит не только оценить сложившуюся ситуацию уровня конкурентоспособности и инвестиционной привлекательности государств, но и проанализировать недостатки управления, предупредить ошибки неправильных решений, не допустить развития кризиса в государстве.