Биномиальное распределение является одной из важнейших математических моделей для описания случайных процессов в природе и обществе. Этот закон позволяет рассчитать вероятности различных исходов в сериях испытаний и экспериментов. Давайте разберемся в сущности биномиального распределения и его практических применениях.
Сущность биномиального распределения
Биномиальное распределение описывает вероятности числа успехов в серии повторных независимых испытаний, когда вероятность успеха в каждом испытании постоянна.
Например, при подбрасывании монеты 100 раз, биномиальный закон распределения позволяет рассчитать вероятность выпадения орла ровно 50 раз. Или при проверке партии деталей на брак, можно вычислить вероятность обнаружить 5% дефектных изделий.
Биномиальное распределение тесно связано с распределением Бернулли. Последнее описывает результат одного испытания с двумя исходами.
Основными параметрами биномиального распределения являются:
- n - число испытаний
- p - вероятность успеха в одном испытании
Важные свойства:
- Дискретность значений
- Симметричность относительно матожидания
- Приближение к нормальному закону при большом n
Вывод формулы биномиального распределения
Чтобы вывести формулу биномиального распределения вероятностей, воспользуемся комбинаторным подходом и схемой Бернулли.
Пусть имеется серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р. Необходимо найти вероятность P(X=k) того, что успех наступит ровно k раз.
Сначала определим число всевозможных исходов серии испытаний при помощи комбинаторики. Это число равно C(n,k) - числу сочетаний из n по k:
Затем, воспользовавшись дискретным биномиальным распределением по схеме Бернулли, запишем:
Подставляя выражение для C(n,k), приходим к искомой формуле биномиального закона распределения случайной величины:
Характеристики биномиального распределения
Рассмотрим важнейшие числовые характеристики биномиального распределения.
Математическое ожидание биномиальной случайной величины равно произведению числа испытаний n на вероятность успеха р в каждом испытании:
Дисперсия выражается формулой:
D(X) =1ni=1n(xi-x)2,
При больших значениях n биномиальное распределение становится практически симметричным. Его медиана и мода приближаются к математическому ожиданию.
| Медиана | Мода |
| [np] | Entier([np + 0,5]) |
Здесь [x] - целая часть числа x, а Entier(x) - наибольшее целое, меньшее или равное x.
При большом числе испытаний биномиальное распределение становится практически нормальным. Это позволяет использовать все мощные методы теории вероятностей.
Вычисление вероятностей в Excel
Расчет вероятностей биномиального распределения можно выполнить в табличном процессоре MS Excel при помощи встроенной функции БИНОМ.РАСП.
Функция БИНОМ.РАСП принимает 4 аргумента:
- Число_успехов - число успешных исходов k
- Число_испытаний - общее число испытаний n
- Вероятность_успеха - вероятность успеха в одном испытании p
- Интегральная - логический параметр, равный 1 для вычисления интегральной функции распределения
Например, чтобы найти вероятность ровно 40 успехов из 100 испытаний с вероятностью успеха 0.5, записываем:
=БИНОМ.РАСП(40;100;0,5;0)
Результат вычисления составит 0,0107907 или 1,08%.
Графическое представление биномиального распределения
Для наглядности биномиальное распределение вероятностей изображают в виде многоугольника распределения или графика функции распределения.
Многоугольник строится путем откладывания на горизонтальной оси значений случайной величины от 0 до n. Вероятности откладываются на вертикальной оси в виде отрезков.
Функция распределения строится как интегральная функция БИНОМ.РАСП в Excel при значении последнего параметра, равном 1.
Применение биномиального распределения на практике
Биномиальное распределение широко используется в различных областях:
- Контроль и управление качеством продукции
- Анализ надежности технических систем
- Моделирование и прогнозирование производственных и бизнес-процессов
- Оценка рисков инвестиционных проектов
Например, при контроле качества из партии извлекается выборка из n изделий. Пусть вероятность обнаружить бракованное изделие в выборке равна р. Тогда случайная величина числа дефектов в выборке X подчиняется биномиальному закону распределения.
Предпосылки
Рассмотрим более подробно использование биномиального распределения в контроле качества продукции.
План контроля качества с использованием биномиального распределения
Для организации контроля качества на основе биномиального закона распределения случайной величины необходимо:
- Определить объем выборки n из партии продукции
- Установить приемлемый уровень дефектности p
- Рассчитать допустимое число дефектов k в выборке
- Осуществить контроль и подсчет бракованных изделий
- Сравнить полученное число дефектов с допустимым уровнем
- Принять решение о соответствии партии требованиям качества
Выбор объема контролируемой выборки
Объем выборки n для контроля качества рассчитывается исходя из необходимой точности оценки доли дефектов в партии. Чем больше n, тем выше точность оценки.
С другой стороны, увеличение n ведет к росту затрат на контроль. Поэтому объем выборки является компромиссом между затратами и требуемой точностью.
Установление приемлемого уровня брака
Приемлемый уровень дефектности p задается исходя из технических требований, особенностей производства или рыночной конъюнктуры.
Например, для высокотехнологичной продукции p может быть 0,1% или 0,01%, а для массовых товаров - 1-5%.
Расчет числа допустимых дефектов
Допустимое число дефектов k в выборке объемом n изделий определяется на основе дискретного биномиального распределения при заданных n и p.
Как правило, k принимается на уровне 95% или 99% доверительной вероятности.
Анализ результатов контроля
После проведения контроля качества подсчитывается фактическое число дефектов в выборке.
Это значение сравнивается с допустимым числом дефектов k, рассчитанным заранее.
Принятие решения о соответствии
Если фактическое число дефектов меньше или равно допустимому k, то с заданной доверительной вероятностью партия продукции соответствует требованиям качества.
В этом случае партия принимается и отправляется потребителям.
Решение о несоответствии
Если число обнаруженных дефектов превышает допустимый предел k, партия продукции не соответствует norms качества.
Такая партия может:
- Поступить на доработку
- Быть забракована
- Реализована со скидкой
Повторный контроль
Возможен вариант повторной случайной выборки и контроля, если первый результат вызывает сомнения.
При этом анализируются уже результаты обеих выборок.
Корректировка плана контроля
По результатам контроля может возникнуть необходимость скорректировать объем выборки n или допустимый уровень дефектности p.
Автоматизация контроля качества на основе биномиального распределения
Процесс контроля качества можно частично автоматизировать с использованием информационных систем.
Формирование выборки
Система случайным образом отбирает требуемое число изделий n из партии продукции для контроля.
Автоматическая проверка изделий
Специальное контрольное оборудование автоматически проверяет выбранные изделия на соответствие требованиям.
Подсчет дефектов
Система подсчитывает количество дефектных изделий в выборке.
Сравнение с нормативом
Полученное число дефектов сравнивается с допустимым значением k согласно биномиальному закону распределения случайной величины.
Принятие решения
На основе сравнения система автоматически формирует заключение о соответствии или несоответствии продукции требованиям качества.
Корректировка параметров
При необходимости система автоматически корректирует объем выборки, допустимый уровень брака или другие параметры контроля.